Clasificación de triángulos según sus ángulos y sus lados

DEFINICIÓN DETEOREMA

Derivada del latín theorema, la palabra teorema consiste en una proposición que puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anticipación. Este proceso de demostración se lleva a cabo mediante ciertas reglas de inferencia.

El teorema, por lo tanto, puede ser descripto como una afirmación de importancia. Existen otras de menor rango, como ocurre con el lema (que pertenece a un teorema más largo), el corolario (que sigue de manera inmediata al teorema) o la proposición (un resultado que no se encuentra asociado a ningún teorema en específico).

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Qué es Axioma:

Los axiomas son verdades incuestionables universalmente válidas y evidentes, que se utilizan a menudo como principios en la construcción de una teoría o como base para una argumentación. La palabra axioma deriva del sustantivo griegoαξιωμα, que significa "lo que parece justo" o "lo que se considera evidente, sin necesidad de demostración". El término viene del verbo griego αξιοειν (axioein), que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios): "valioso", "válido" o "digno". Entre los filósofos griegos antiguos, un axioma era lo que parecía verdadero sin necesidad de prueba alguna. En muchos contextos, axioma es sinónimo de postulado, ley o principio.

DEFINICIÓN DEPOSTULADO

Postulado es aquella expresión que presenta una verdad sin demostraciones ni evidencias, pero que es admitida aún pese a la falta de pruebas. La aceptación del postulado está dada por la inexistencia de otras expresiones a las que pueda referirse y por la necesidad de emplearlo en un razonamiento posterior.

l

los postulados, por lo tanto, son proposiciones que permiten desarrollar juicios lógicos. Para la filosofía, son expresiones que no pueden demostrarse a partir de la teoría, pero que deben ser admitidas para entender algo. En este sentido, la noción de libertad puede entenderse como un postulado filosófico

Corolario

Un corolario  es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostración.

A menudo se trata de una inferencia, si bien la distinción entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema

Lema 

En matemáticas, un lema es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema menor o una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general. El término proviene del griego λήμμα, que significa cualquier cosa que es recibida, tal como un regalo, una dádiva o un soborno.

Ciertos lemas demostrados son más famosos que el teorema para el que fueron creados, desempeñando a veces la función de teorema. Muchos lemas son de hecho muy celebrados y generales y se usan por doquier como resultados auxiliares en muchas ramas de la matemática.

                                            triangulo escaleno 

El triángulo es un tipo de polígono cuyo rasgo diferencial es que está conformado por tres lados. Un triángulo se construye uniendo tres rectas, las cuales serán los lados de esta figura geométrica, en tanto, los mencionados lados se encuentran en puntos que se denominan vértices.

Las mencionadas partes que presenta el triángulo, es decir, lados, vértices y ángulos internos , siempre están presentes en un triángulo y son condiciones sine quanom de este cuerpo geométrico.

DEFINICIÓN DEPROBLEMA

A la hora de analizar a fondo el término problema es necesario que antes estipulemos el origen etimológico del mismo. En este sentido, podemos decir que aquel se encuentra en el latín y más concretamente en la palabra problēma. No obstante, también hay que determinar que la misma a su vez procede del término Un problema es un determinado asunto o una cuestión que requiere de una solución. A nivel social, se trata de alguna situación en concreto que, en el momento en que se logra solucionar, aporta beneficios a la sociedad

DEFINICIÓN DEPUNTO EN GEOMETRÍA

Es probable que nos encontremos con la idea de punto en diversos contextos. El término puede referirse a una marca con forma de círculo (“Hay un punto rojo en la pared”), a un signo ortográfico (“No olvides cerrar las oraciones con un punto”), a una unidad que permite llevar la puntuación en un juego (“Manu Ginóbili anotó 34 puntos en un nuevo triunfo del seleccionado argentino”) o incluso a un lugar (“La iglesia es el único punto seguro de la ciudad”).

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DEFINICIÓN DERECTA

Algo recto -término que procede del latín rectus– es aquello que no tiene ángulos ni curvas. Cuando el concepto se emplea en femenino (recta), se trata de una noción de la geometría que refiere a la línea unidimensional que, formada por una cantidad infinita de puntos, se prolonga en una misma dirección.

Segmento 

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

Igualdad de segmentos

Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden.

Segmento nulo

Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Tipos de segmentos

  Segmento nulo

Un segmento es nulo cuando sus extremos coincide.

DEFINICIÓN DESEMIRRECTA

Antes de proceder a analizar exhaustivamente el concepto de semirrecta es necesario que llevemos previamente lo que es el establecimiento del origen etimológico del mismo. En concreto queda patente que este se halla en el latín donde observamos que se compone de dos partes claramente diferenciadas: el prefijo semi– que se traduce como “medio” y el vocablo rectus que puede definirse como “recto”.

El concepto de semirrecta se utiliza en geometría para identificar a cada uno de los 

fragmentos en que toda recta puede ser dividida por cualquiera de los puntos que la 

componen. Es importante tener en cuenta que la forma correcta de escribir esta palabra es 

con dos ‘r’ y no semirecta (con una sola R).

Plano (geometría)

Gráfica de dos hipérbolas y susasíntotas en el plano cartesiano.

Representación gráfica informal de un plano.

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.

Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas
  • Dos rectas paralelas.
  • O dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Ángulo

Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).

«Ángulos» redirige aquí. Para la localidad de Argentina, véase Angulos.

Un ángulo positivo de 45°.

Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.¹ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Operaciones con Segmentos

Sumar:
Para sumar segmentos, los colocamos uno a continuación de otro, sobre la misma recta, es decir, agregamos un segmento al siguiente y el valor de la suma será la longitud total obtenida.
Supongamos que tenemos los segmentos:

tal como los tienes en la figura siguiente.

Los colocamos sobre una recta, uno a continuación de otro, tal como ves en la figura que tienes a continuación y la suma de los tres segmentos será el segmento 

Supongamos que tenemos 3 segmentos que miden 2, 3 y 6 cm., y los colocamos sobre una misma línea, uno a continuación de otro. Obtendremos un segmento de 11 cm:

El resultado gráfico será:

Restar:
Para restar dos segmentos puedes llevarlos a ambos sobre la misma línea haciendo coincidir uno de los extremos de los dos. El segmento sobrante, será la diferencia.

Tengo 2 segmentos de 2 y 5 cm., respectivamente:

Los llevo sobre la recta r haciendo coincidir los extremos A y C:

La diferencia nos vendrá dada por el segmento que medirá 3 cm.

Multiplicar:
En esta operación aritmética estudiamos el producto de un número natural por el valor de un segmento.
Consiste en sumar tantos segmentos iguales como unidades tiene el número natural.
En la figura siguiente tienes un segmento de 2 cm., que lo multiplicamos por el número 4 que es un número entero y positivo.
Sobre la recta r colocamos este segmento, uno a continuación de otro, tantas veces como unidades tiene el número natural, en nuestro caso, 4.

La longitud del segmento resultante será el valor del producto, es decir, 8 cm.

Nomenclatura de angulos

Nomenclatura de los ángulos
Cuando un ángulo es menor de 90º se llama agudo, si es mayor de 90º se llama obtuso y si mide 90º se llama recto. El ángulo llano o extendido mide 180º, el ángulocompleto 360º y el ángulo nulo 0º. Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180º y complementarios si suman 90º.

Un ángulo cóncavo mide más de 180º grados. Si se prolonga el lado de un ángulo cóncavola prolongación divide al ángulo. Un ángulo convexo mide menos de 180º. Aunque se prolonguen sus lados las prolongaciones no dividen el ángulo. Cuando dos rectas se cortan forman cuatro ángulosiguales dos a dos y suplementarios dos a dos. Los que son iguales son opuestos al vértice. Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común. Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos ysuplementarios.

Cuando una recta corta a dos rectas paralelas se forman ángulos que tienen las siguientes características:
Todos tienen un lado común y otro lado en rectas paralelas entre sí. Hayángulos que son iguales por ser opuestos al vértice, como  y ; otros ángulos iguales se llaman alternos internos, como  y  o alternos externos, como  y .

DEFINICIÓN DETRIÁNGULO

Con origen en el latín triangulus, la palabra triángulo se utiliza para identificar un polígono compuesto por 3 lados. Esta figura geométrica se logra a partir de la unión de tres rectas que se interceptan en tres puntos desalineados. Cada uno de estos puntos donde las rectas se unen recibe el nombre de vértice, mientras que los segmentos que se pueden apreciar en la figura reciben el nombre de lados.

Clasificación de triángulos según sus ángulos y sus lados

Los triángulos son figuras que tienen tres lados y tres ángulos. No todos los triángulos son iguales.
Por eso la geometría los clasificó.

Los triángulos son clasificados principalmente de:

· Lados.
· Ángulos.

Los lados que definen a un triángulo generalmente se conocen como:

· Isósceles: posee dos lados iguales y uno diferente.
· Equilátero: tiene sus tres lados iguales.
· Escaleno: posee sus tres lados diferentes.

Tipos de triángulos según sus ángulos:

· Rectángulo: contiene un ángulo un ángulo de 90º que se encuentra enfrente de la hipotenusa.
· Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.
· Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.

TIPOS DE TRIÁNGULOS
El triángulo rectángulo- es aquél que tiene un ángulo de 90 grados

El triángulo isósceles- El triángulo isósceleses aquél que tiene dos lados iguales y uno desigual.

El triángulo escaleno- es aquél que tiene los tres lados desiguales y por lo tanto sus ángulos.

El triángulo equilátero- es aquél que tiene los tres lados iguales y por lo tanto sus ángulos, siendo cada uno de 60 grados.

Puntos y rectas notables de los triángulos

Las rectas y puntos notables de un triángulo  son:

las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro  ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;

las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;

las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

las alturas, , que se cortan en el ortocentro, .

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach

El triángulo  que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo  se llama triángulo órtico.

Las bisectrices del triángulo órtico de  están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.

La circunferencia circunscrita al órtico de  se llama circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de  y  y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de  y .

Sea  es el triángulo órtico de un triángulo desconocido . Al hallar  vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada órtico y cada circunferencia de Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.

Dibujamos las bisectrices de , que coinciden con las alturas de . Trazamos por  y  perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, . Esta es la primera solución. Señalamos el ortocentro  y la circunferencia de Feuerbach.

Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de , como , cuyo ortocentro coincide con el vértice . Las otras soluciones serían , con ortocentro en  y , con ortocentro en .

Recta de Simson

Sea un triángulo  y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de  desde un punto arbitrario  de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos  con el ortocentro de  el punto medio  del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbachde .

ecta de Simson

Sea un triángulo  y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de  desde un punto arbitrario  de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos  con el ortocentro de  el punto medio  del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbachde .

Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo  se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, .

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: .

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de , segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo .

Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices .

El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a .

CONGRUENCIA  Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Congruencia de triángulos

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Criterios de congruencia de triángulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Cuarto criterio de congruencia: LLA

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Semejanza de Triángulos:

El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no

necesariamente de igual tamaño.

Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial). En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de una materia pero no se altera su coagulo.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Criterios de semejanza de triángulos.

1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.	2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman.	3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales.

Para que dos triángulos sean semejantes es suficiente con que se verifique una de las siguientes condiciones:

1.   Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales:

2.   Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales:

3.   Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: